Matematica discreta Esempi

$f (x) = 10 x^{3}$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = 10 x^{3}$ come un'equazione.

$y = 10 x^{3}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = 10 y^{3}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $10 y^{3} = x$ .

$10 y^{3} = x$

Passaggio 3.2

Dividi per $10$ ciascun termine in $10 y^{3} = x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Dividi per $10$ ciascun termine in $10 y^{3} = x$ .

$\frac{10 y^{3}}{10} = \frac{x}{10}$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{10 y^{3}}{10} = \frac{x}{10}$

Passaggio 3.2.2.1.2

Dividi $y^{3}$ per $1$ .

$y^{3} = \frac{x}{10}$

Passaggio 3.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{10}}$

Passaggio 3.4

Semplifica $\sqrt[3]{\frac{x}{10}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Riscrivi $\sqrt[3]{\frac{x}{10}}$ come $\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{10}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{10}}$

Passaggio 3.4.2

Moltiplica $\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{10}}$ per $\frac{{\sqrt[3]{10}}^{2}}{{\sqrt[3]{10}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{10}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{10}}^{2}}{{\sqrt[3]{10}}^{2}}$

Passaggio 3.4.3

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 3.4.3.1

Moltiplica $\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{10}}$ per $\frac{{\sqrt[3]{10}}^{2}}{{\sqrt[3]{10}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{\sqrt[3]{10} {\sqrt[3]{10}}^{2}}$

Passaggio 3.4.3.2

Eleva $\sqrt[3]{10}$ alla potenza di $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{{\sqrt[3]{10}}^{1} {\sqrt[3]{10}}^{2}}$

Passaggio 3.4.3.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{{\sqrt[3]{10}}^{1 + 2}}$

Passaggio 3.4.3.4

Somma $1$ e $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{{\sqrt[3]{10}}^{3}}$

Passaggio 3.4.3.5

Riscrivi ${\sqrt[3]{10}}^{3}$ come $10$ .

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Passaggio 3.4.3.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{10}$ come $10^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{{(10^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Passaggio 3.4.3.5.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{10^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Passaggio 3.4.3.5.3

$\frac{1}{3}$ e $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{10^{\frac{3}{3}}}$

Passaggio 3.4.3.5.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 3.4.3.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{10^{\frac{3}{3}}}$

Passaggio 3.4.3.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{10^{1}}$

Passaggio 3.4.3.5.5

Calcola l'esponente.

$y = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{10}$

Passaggio 3.4.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.4.4.1

Riscrivi ${\sqrt[3]{10}}^{2}$ come $\sqrt[3]{10^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{10^{2}}}{10}$

Passaggio 3.4.4.2

Eleva $10$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{100}}{10}$

Passaggio 3.4.5

Semplifica tramite esclusione.

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Passaggio 3.4.5.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$y = \frac{\sqrt[3]{x \cdot 100}}{10}$

Passaggio 3.4.5.2

Riordina i fattori in $\frac{\sqrt[3]{x \cdot 100}}{10}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}$ è l'inverso di $f (x) = 10 x^{3}$ .

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Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

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Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (10 x^{3})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (10 x^{3}) = \frac{\sqrt[3]{100 (10 x^{3})}}{10}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.2.3.1

Moltiplica $100$ per $10$ .

$f^{- 1} (10 x^{3}) = \frac{\sqrt[3]{1000 x^{3}}}{10}$

Passaggio 5.2.3.2

Riscrivi $1000 x^{3}$ come ${(10 x)}^{3}$ .

$f^{- 1} (10 x^{3}) = \frac{\sqrt[3]{{(10 x)}^{3}}}{10}$

Passaggio 5.2.3.3

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.

$f^{- 1} (10 x^{3}) = \frac{10 x}{10}$

Passaggio 5.2.4

Elimina il fattore comune di $10$ .

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Passaggio 5.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (10 x^{3}) = \frac{10 x}{10}$

Passaggio 5.2.4.2

Dividi $x$ per $1$ .

$f^{- 1} (10 x^{3}) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

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Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = 10 {(\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10})}^{3}$

Passaggio 5.3.3

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = 10 (\frac{{\sqrt[3]{100 x}}^{3}}{10^{3}})$

Passaggio 5.3.4

Riscrivi ${\sqrt[3]{100 x}}^{3}$ come $100 x$ .

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Passaggio 5.3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{100 x}$ come ${(100 x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = 10 (\frac{{({(100 x)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{10^{3}})$

Passaggio 5.3.4.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = 10 (\frac{{(100 x)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{10^{3}})$

Passaggio 5.3.4.3

$\frac{1}{3}$ e $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = 10 (\frac{{(100 x)}^{\frac{3}{3}}}{10^{3}})$

Passaggio 5.3.4.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 5.3.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = 10 (\frac{{(100 x)}^{\frac{3}{3}}}{10^{3}})$

Passaggio 5.3.4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = 10 (\frac{100 x}{10^{3}})$

Passaggio 5.3.4.5

Semplifica.

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = 10 (\frac{100 x}{10^{3}})$

Passaggio 5.3.5

Eleva $10$ alla potenza di $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = 10 (\frac{100 x}{1000})$

Passaggio 5.3.6

Elimina il fattore comune di $10$ .

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Passaggio 5.3.6.1

Scomponi $10$ da $1000$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = 10 (\frac{100 x}{10 (100)})$

Passaggio 5.3.6.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = 10 (\frac{100 x}{10 \cdot 100})$

Passaggio 5.3.6.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = \frac{100 x}{100}$

Passaggio 5.3.7

Elimina il fattore comune di $100$ .

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Passaggio 5.3.7.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = \frac{100 x}{100}$

Passaggio 5.3.7.2

Dividi $x$ per $1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}$ è l'inverso di $f (x) = 10 x^{3}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}$